数学模型（Mathematical Model），是根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法。用以描述和研究客观现象的运动规律。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质测评,对教师的工作业绩的评定以及诸如访友，采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。

数学模型

Mathematical model

科学

数学

Mathematical Model

术语

简介

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻画出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。

分类

按模型的应用领域分类

生物数学模型

医学数学模型

地质数学模型

数量经济学模型

数学社会学模型

按是否考虑随机因素分类

确定性模型

随机性模型

按是否考虑模型的变化分类

静态模型

动态模型

按应用离散方法或连续方法分类

离散模型

连续模型

按建立模型的数学方法分类

几何模型

微分方程模型

图论模型

规划论模型

马氏链模型

按人们对事物发展过程的了解程度分类

白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。

灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。

黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。

基本原则

简化原则

现实世界的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统，对原型进行一定的简化即抓住主要矛盾，数学模型应比原型简化，数学模型自身也应是“最简单”的。

可推导原则

由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果，如果建立的数学模型在数学上是不可推导的，得不到确定的可以应用于原型的结果，这个数学模型就是无意义的。

反映性原则

数学模型实际上是人对现实世界的一种反映形式，因此数学模型和现实世界的原型就应有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。

建立的要求

1

、真实完整。

1）真实的、系统的、完整的反映客观现象；

2）必须具有代表性；

3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；

4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。

2、简明实用。在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。

3、适应变化。随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。

构建的方法和步骤

模型准备

首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

模型假设

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

模型构成

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。

模型求解

可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

模型分析

对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

模型优化

对一个问题的假设和数学模型不断加以修改，进行最优化处理。因为对一个问题或一类问题也可能有几个模型，以对它们要进行比较，直到找到最优模型。

相关研究

花椰菜类几何图案数学模型出炉[1]

2012年12月，一个由西班牙卡米亚斯大主教大学（UPCO）、马德里卡洛斯三世大学（UC3M）的科学家组成的研究小组，首次开发出一种表现普适机制的数学模型，能描述某些复杂自然花纹形成的规则，比如花椰菜

的表面图案。相关论文发表在最近出版的《新物理学》杂志上。

该成果有助于改良薄膜涂层技术，掌握它们在什么情况下会表现出光滑、起皱或粗糙的形状。这对计算机模拟生成材质纹理也非常有用。而且从概念上，这给他们提供了有关普适机制的线索，指导他们去描述一个整体中不同部分的结构是如何形成的，比如在有资源竞争的条件下，一个系统的不同部分之间会形成怎样的结构。

科学家建立统计模型解答鸟类如何咿呀学语

埃默里大学生物学家塞缪尔-苏伯与加利福尼亚大学的生理学家迈克尔-布雷纳德通过研究鸣禽如何保持正确鸣叫，已经找到了一种统计学解释，来解答为什么对于大脑学习来说有的东西比其它的东西更加困难。

塞缪尔-苏伯说道：“我们已经建造了第一个数学模型，使用鸟类先前具备的感觉运动经验来预测它的学习能力。我们希望它能帮助我们理解其它物种以及人类的数学学习。”

他们的研究结果表明成年鸟类能够更加快速和坚定的改正鸣叫中的小错误，这些发现被发表在《国家科学院院刊》上。

科学家建成首个模拟肿瘤生长3D计算机模型

哈佛大学、爱丁堡大学和约翰•霍普金斯大学的科学家们合作完成了首个实体瘤3D计算机模型。该模型不仅刻画了一种致命肿瘤的形状，还展现了它的生长、突变以及演变的过程。科学家称，该模型将帮助他们理解肿瘤是如何产生抗药性的。英科学家通过实验证明遗忘记忆可以被找回[2]

教学大纲

总学时：32学时

适用专业：本科理工类、经济类各专业

选用教材：姜启源 编《数学模型》（第二版）高教出版社出版

基本内容和要求

(一) 数学建模的步骤、原理和方法：

1、 了解数学建模的意义；

2、 了解建立数学模型的基本知识、相关的基本概念；

3、 掌握数学建模过程的几个明显的处理阶段和流程；

4、 通过实例了解数学模型的特点和学习方法；

5、 了解全国大学生数学建模竞赛。

(二) 掌握数学建模思想方法：

1、数学建模概述

2、对现实问题的分析、提练、描述

3、几种创造性思维方法

4、合理假设与信息处理

5、建立数学模型

6、数学软件与模型求解

7、结果分析与灵敏度分析

8、模型的评价与推广

9、论文摘要

(三) 数学方法分类建模

1、 初等数学方法建模；

2、 线性规划法建模；

3、 非线性规划法建模

4、 微分方程建模；

5、 层次分析法适用的建模问题和处理方法；

6、 图论方法建模；

7、 概率分布方法建模。

(四) 掌握一些特殊模型：

1、 运输问题模型；

2、 经济决策模型；

3、 综合评判模型；

4、 捕鱼业的持续收入；

5、 几种图论模型；

6、 效益的合理分配；

(五) 数学建模论文的写作：

1、 知道数学建模竞赛的规则及论文的评阅办法；

2、 掌握数学建模论文的几个基本模块的数学方法。

说明

(一) 本大纲根据我校的实际情况制定。

(二) 课程类型：全校选修课。

(三) 总则：本课程系统地介绍数学模型、数学建模和建模过程中的一些常用方法及数学建模实例，通过课堂教学和讨论，使学生了解数学建模的特性及建模的基本方法，并初步具备对实际问题如何建模的能力以及培养良好的思考习惯和归纳分析能力，使学生在应用数学知识解决实际问题的能力有所提高。学习本课程的大部分内容只需要大学的微积分、线性代数、概率论等基本数学知识。

(四) 教学目的及要求：逐步培养学生利用数学工具解决实际问题的能力。能够将实际问题“翻译”为数学语言，并予以求解，然后再解释实际现象，甚至应用于实际。最终提高学生的数学素质和应用数学知识解决实际问题的能力。

(五) 教学重点：对实际问题的分析；模型的合理假设；数学工具的恰当应用；模型的建立；模型的求解；模型结果的合理解释；模型的应用；

(六) 教学难点：对实际问题的分析；模型的合理假设；数学工具的恰当应用；模型结果的合理解释与模型的应用；

(七) 主要教学环节的组织：循序渐进的介入数学建模的思想，由简入难的介绍各类数学模型；强化数学与计算机等其他工具的结合；对于一些重点教学环节，在突出对数学方法的同时，要重点讲述数学方法与实际问题的一些必然的关联性，使学生更具体的认识数学。对某些章节用到的不常用数学方法，予以简单而有目的的介绍。

(八) 大纲中教学基本要求从高到底分为理论部分：深入理解、一般理解、了解；运算部分：熟练掌握、一般掌握、知道。