正十七边形，是指几何学中所有有17条边及17只角的正多边形。正十七边形的每个内角约为158.823529411765°，其内角和为2700°，有119条对角线。1796年，高斯成功利用尺规作图作出正十七边形，同时发现了可作图多边形的条件，并定下他要成为数学家的决心。可作图性亦同时显示2π/17的三角函数可以只用基本算术和平方根来表示。

正十七边形

heptadecagon

起源

最早的十七边形画法创造人是高斯【1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.但是，高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出.】

。高斯（1777─1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。年仅三岁，就学会了算术，八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法[1]，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件[2]。解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献。

作法

先计算或作出cos(360°/17)

设正17边形中心角为a，则17a=360°,即16a=360°-a

故sin16a=-sina，而

sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a

因sina不等于0，两边除之有：

16cosacos2acos4acos8a=-1

又由2cosacos2a=cosa+cos3a(三角函数积化和差公式)等

注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(诱导公式)等，有

2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

令

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a

y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

有：

x+y=-1/2

又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cos14a+cos15a)

经计算知xy=-1

因而：x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4

其次再设：x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=(-1+√17)/4

y1+y2=(-1-√17)/4

最后，由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

可求cosa之表达式,

它是有理数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出

做法

给一圆O，作两垂直的直径AB、CD.

在OB上作E点使OE=1/4AO,连结CE.

作∠CEB的平分线EF.

作∠FEB的平分线EG,交CO于P.

作∠GEH=45°,交CD于Q.

以CQ为直径作圆,交OB于K.

以P为圆心,PK为半径作圆,交CD于L、M.

分别过M、L作CD的垂线,交圆O于N、R.

10作弧NR的中点S,以SN为半径将圆O分成17等份.

简易作法

因为360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′，在不要求十分精确的情况下还是可行的。

作法如下：

1.先画一条直线，用圆规在上面截取5条相等线段，(尽量越短越好),再截取之前四条线段的和，接续之前画的线段。这样，如果每条小线段算作0.1的话，那么整条线段就是1.8。

2.用圆规截取之前5条小线段的长，画5次，这样这条线段就是5。1.8/5=0.36。准备工作完毕！

3.另作一条直线，作垂线，1.8的线段作为对边，5的线段作为斜边，那个最小的锐角即是近似的360°/17的角。以其顶点为圆心，重复作角直至闭合。画一大圆，连接其与17条射线的交点，即可。

历史简介

最早的十七边形画法创造人为高斯。

这其中还有一段趣闻:

1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。

他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”

导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：这是你自己做出来的吗？青年有些疑惑地看着导师，回答道：是我做的。但是，我花了整整一个通宵。导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。青年很快做出了一个正17边形。导师激动地对他说：你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！

原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来”。这位青年就是数学王子高斯。

高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。

1801年，高斯证明：如果k是费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。

步骤一

给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，

在OB上作C点使OC=1/4OB，

在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。

步骤二

作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，

此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆

过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三

过G4作OA垂直线交圆O于P4，

过G6作OA垂直线交圆O于P6，

则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。