柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦1。柯西中值定理是数学分析中一个非常重要的定理，它在判定函数的单调性，求不定式极限，证明等式和不等式等方面都有广泛的应用“

在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。

柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。

柯西中值定理

Cauchy mean value theorem

柯西

数学、物理学

数学

发展简史

柯西，法国数学家、物理学家、天文学家。他1789年出生于巴黎，父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日与拉普拉斯交往密切。

柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，并预言柯西日后必成大器。(拉格朗日后面也确实担任了他的老师)

1807年至1810年柯西在工学院学习，曾当过交通道路工程师。由于身体欠佳，接受了拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师而致力于纯数学的研究。

1821年柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来刻画，后经魏尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义。

虽然柯西主要研究数学分析领域，但他在其它方面的研究成果也很丰富。

复变函数的微积分理论就是由他创立的。在代数方面、理论物理、光学、弹性理论方面，也有突出贡献。

柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人。柯西全集有27卷，其论著有800多篇，在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家。

定理定义

柯西（Cauchy）中值定理：设函数满足

⑴在闭区间上连续；

⑵在开区间 内可导；

⑶对任意。

那么在 内至少有一点，使得成立[2]

与拉氏定理的联系

在柯西中值定理中，若取时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。

因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。

验证推导

可构造辅助函数在上连续，在内可导，且有。

由罗尔定理可知，存在，使得 ，即，又 ，所以有。

定理推广

泰勒公式

柯西中值定理最主要的应用是证明带有拉格朗日余项的阶泰勒公式，只要反复使用柯西中值定理多次就能证明，下面以为例说明。

例1设在内二次可微，证明：任意的，在之间存在，使

这就是函数在点邻域内的一阶泰勒公式。

证明令

利用。

在两次应用到柯西中值定理后可以得到：

命题得证。

洛必达法则

柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则。

洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限。在满足一定条件下可以化成两个函数的导数的比值极限，这样就有可能使得原待定型变成简便而有效的求非待定型极限的问题。

我们得出下面这个定理（洛必达法则）：

⑴两个函数和在开区间 可微，并且在这个开区间上， 的导数不等于0；

⑵存在极限（或），其中A为一个有限的常数。则在以下情况下：

（或者和）。那么就有：

（或）。在区间的另一个端点也存在相类似的结果。这个定理就称之为洛必达法则，能有效地应用于待定型的极限计算。

不等式

柯西中值定理在不等式的证明也有广泛应用，关键是f(x)和g(x)要选得恰当。 

例3试证明当时，（引用文内原题，解法重新作出）。

证明 设

则在区间上满足柯西中值定理条件，所以存在，使，即

结论得证。

中值点

中值点的存在性的证明是柯西中值定理最典型的应用之一。

例4设，函数在区间上连续，在内可导，则存在使得。

证明：设，显然，在上满足柯西中值定理的条件，于是存在，使得

即存在使得，即可得结论。

定理意义

柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。