复合函数是数字内的一种函数。设y=f（u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g（x）的定义域为Dx，值域为Mx，那么对于Dx内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数（compositefunction），其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

复合函数

u为中间变量，y为因变量（即函数）

y=f[g(x)]

f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x)

定义

设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数(composite function)，其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量（即函数）。

生成条件

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。

定义域

若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域的主要考虑以下几点：

⑴当为整式或奇次根式时，R；

⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；

⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；

⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

周期性

设y=f(u)，的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）

增减性

依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”

判断复合函数的单调性的步骤如下

：⑴求复合函数定义域；

⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；

⑶判断每个常见函数的单调性；

⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

⑸求出复合函数的单调性。

例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。解：函数定义域为R。

令u=x^2-4x+3,y=0.8^u。

指数函数y=0.8^u在（-∞，+∞）上是减函数，

u=x^2-4x+3在（-∞,2]上是减函数，在[2,+∞）上是增函数，

∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在（-∞,2]上是增函数，在[2,+∞）上是减函数。

利用复合函数求参数取值范围

求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须

将已知的所有条件加以转化。

求导

复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导

法则1：设u=g(x)

f'(x)=f'(u)*g'(x)

法则2：设u=g(x),a=p(u)

f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)

例如：

1、求：函数f(x)=(3x+2)^3+3的导数

设u=g(x)=3x+2

f(u)=u^3+3

f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2

g'(x)=3

f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)^2*3=9(3x+2)^2

2、求f(x)=√[(x-4)^2+25]的导数

设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u^2+25

f(a)=√a

f'(a)=1/(2√a)=1/{2√[(x-4)^2+25]}

p'(u)=2u=2(x-4)

g'(x)=1

f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=2(x-4)/{2√[(x-4)^2+25]}=(x-4)/√[(x-4)^2+25]