2022-12-21
曾一鸣 中国最强音,曾一鸣个人资料,曾一鸣图片姓名:曾一鸣小名:鸣出生地:湖南省常德市汉寿县生日:7.3属相:狗身高:175公分体重:70公斤星座:巨蟹座血 ... [详细]
约瑟夫问题(Josephus problem)又称为约瑟夫斯置换,是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中,约瑟夫问题类似问题又称为约瑟夫环、“丢手绢问题”。约瑟夫问题是个有名的问题:N个人围成一圈,从第一个开始报数,第M个将被杀掉,最后剩下一个,其余人都将被杀掉。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数,报到2的人退出圈子。 中文名约瑟夫问题 Josephus problem 别 名 约瑟夫环 问题来源据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事:在罗马人占领乔塔帕特后,39个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到,于是决定了一个自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀,然后再由下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。问题是,给定了和,一开始要站在什么地方才能避免被处决?Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。[1] 17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事:15个教徒和15个非教徒在深海上遇险,必须将一半的人投入海中,其余的人才能幸免于难,于是想了一个办法:30个人围成一圆圈,从第一个人开始依次报数,每数到第九个人就将他扔入大海,如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法,才能使每次投入大海的都是非教徒。 *问题分析与算法设计 约瑟夫问题并不难,但求解的方法很多;题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。 题目中30个人围成一圈,因而启发我们用一个循环的链来表示,可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员,其一为指向下一个人的指针,以构成环形的链;其二为该人是否被扔下海的标记,为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数,每数到9时,将结构中的标记改为0,表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。 约瑟夫环运作如下: 1、一群人围在一起坐成环状(如:N) 2、从某个编号开始报数(如:K) 3、数到某个数(如:M)的时候,此人出列,下一个人重新报数 4、一直循环,直到所有人出列,约瑟夫环结束 一般形式约瑟夫问题是个有名的问题:N个人围成一圈,从第一个开始报数,第M个将被杀掉,最后剩下一个,其余人都将被杀掉。例如N=6,M=5,被杀掉的顺序是:5,4,6,2,3,1。 分析: (1)由于对于每个人只有死和活两种状态,因此可以用布朗型数组标记每个人的状态,可用true表示死,false表示活。 (2)开始时每个人都是活的,所以数组初值全部赋为false。 (3)模拟杀人过程,直到所有人都被杀死为止。 C++代码:
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。 为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意: 问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。 我们知道第一个人(编号一定是(m-1) mod n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m mod n的人开始): k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2 并且从k开始报0。 我们把他们的编号做一下转换: k --> 0 k+1 --> 1 k+2 --> 2 ... ... k-2 --> n-2 变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k) mod n 如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式: 令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n] 递推公式 f=0; f=(f+m) mod i; (i>1) 有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1 由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单: c++
pascal var n,m,i,s:integer; begin write('N M ='); read(n,m); for i:=2 to n do s:=(s+m) mod i; writeln('The winner is ',s+1); end. 这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。 约瑟夫问题10e100版(from vijios) 描述 Description n个人排成一圈。从某个人开始,按顺时针方向依次编号。从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数,报到2的人退出圈子。这样不断循环下去,圈子里的人将不断减少。由于人的个数是有限的,因此最终会剩下一个人。试问最后剩下的人最开始的编号。 输入格式 Input Format 一个正整数n,表示人的个数。输入数据保证数字n不超过100位。 输出格式 Output Format 一个正整数。它表示经过“一二一”报数后最后剩下的人的编号。 样例输入 Sample Input 9 样例输出 Sample Output 3 时间限制 Time Limitation 各个测试点1s 注释 Hint 样例说明 当n=9时,退出圈子的人的编号依次为: 2 4 6 8 1 5 9 7 最后剩下的人编号为3 初见这道题,可能会想到模拟。可是数据实在太大啦!! 我们先拿手来算,可知n分别为1,2,3,4,5,6,7,8...时的结果是1,1,3,1,3,5,7,1... 有如下规律:从1到下一个1为一组,每一组中都是从1开始递增的奇数,且每组元素的个数分别为1,2,4... 这样就好弄了!! 大体思路如下: ①read(a) ②b:=1,c:=1{b为某一组的元素个数,c为累计所加到的数} ③while c ⑥c:=c-b{退到前一组} ⑦x:=a-c{算出目标为所在组的第几个元素} ⑧ans:=x*2-1{求出该元素} ⑨write(ans) 有了思路,再加上高精度就可以了。我写的代码比较猥琐,因为是先把上面的思路敲进去,再写过程,又把一些简单的过程合到主程序中了,所以有点乱,也有点猥琐。起提供思路的作用还是完全可以的吧~~~
猴子选王问题表述一. 问题描述: 一堆猴子都有编号,编号是1,2,3 ...m,这群猴子(m个)按照1-m的顺序围坐一圈,从第1开始数,每数到第N个,该猴子就要离开此圈,这样依次下来,直到圈中只剩下最后一只猴子,则该猴子为大王。 约瑟夫 "密码问题" 问题描述:编号为1、2、3、...、N的N个人按顺时针方向围坐一圈,每人持有一个密码(正整数)。从指定 编号为1的人开始,按顺时针方向自1开始顺序报数,报到指定数M时停止报数,报M的人出列,并将 他的密码作为新的M值,从他在顺时针方向的下一个人开始,重新从1报数,依此类推,直至所有的 人全部出列为止。请设计一个程序求出出列的顺序,其中N≤30,M及密码值从键盘输入。 二. 基本要求: (1) 输入数据:输入m,n m,n 为整数,n (2)中文提示按照m个猴子,数n 个数的方法,输出为大王的猴子是几号 ,建立一个函数来实现此功能 编程解决1.C程序
C语言程序2 ?
C语言程序3: 用数组模拟链表
pascal程序:
c++程序
约瑟夫数学算法
约瑟夫递推算法
2、PHP模拟算法 php有非常完善的数据结构模拟方案,可以非常简洁的解决这样的问题!
笔算解决笔算解决约瑟夫问题 在M比较小的时候,可以用笔算的方法求解, M=2 即N个人围成一圈,1,2,1,2的报数,报到2就去死,直到只剩下一个人为止。 当N=2^k的时候,第一个报数的人就是最后一个死的, 对于任意的自然数N都可以表示为N=2^k+t,其中t 于是当有t个人去死的时候,就只剩下2^k个人,这2^k个人中第一个报数的就是最后去死的。这2^k个人中第一个报数的人就是2t+1 于是就求出了当M=2时约瑟夫问题的解: 求出不大于N的最大的2的整数次幂,记为2^k,最后一个去死的人是2(N-2^k)+1 M=3 即N个人围成一圈,1,2,3,1,2,3的报数,报到3就去死,直到只剩下一个人为止。 此时要比M=2时要复杂的多 我们以N=2009为例计算 N=2009,M=3时最后被杀死的人记为F(2009,3),或者可以简单的记为F(2009) 假设这种情况下还剩下n个人,则下一轮将杀死[n/3]个人,[]表示取整,还剩下n-[n/3]个人 设这n个人为a1,a2,...,a(n-1),an 从a1开始报数,一圈之后,剩下的人为a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1),a(n-n mod 3+1),..,an 于是可得: 1、这一轮中最后一个死的是a(n-n mod 3),下一轮第一个报数的是a(n-n mod 3+1) 2、若3|n,则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])个人 若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-(n mod 3)人 若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])-(n mod 3)人 3、新一轮第k个人对应原来的第 3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1个人 综合1,2,3可得: F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4,F(6)=1, 当f(n-[n/3])<=n mod 3时 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-(n mod 3),F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1 当f(n-[n/3])>n mod 3时 k=F(n-[n/3])-(n mod 3) ,F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1 这种算法需要计算 [log(3/2)2009]次 这个数不大于22,可以用笔算了 于是: 第一圈,将杀死669个人,这一圈最后一个被杀死的人是2007,还剩下1340个人, 第二圈,杀死446人,还剩下894人 第三圈,杀死298人,还剩下596人 第四圈,杀死198人,还剩下398人 第五圈,杀死132人,还剩下266人 第六圈,杀死88人,还剩下178人 第七圈,杀死59人,还剩下119人 第八圈,杀死39人,还剩下80人 第九圈,杀死26人,还剩下54人 第十圈,杀死18人,还剩36人 十一圈,杀死12人,还剩24人 十二圈,杀死8人,还剩16人 十三圈,杀死5人,还剩11人 十四圈,杀死3人,还剩8人 十五圈,杀死2人,还剩6人 F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4,F(6)=1, 然后逆推回去 F(8)=7 F(11)=7 F(16)=8 f(24)=11 f(36)=16 f(54)=23 f(80)=31 f(119)=43 f(178)=62 f(266)=89 f(398)=130 F(596)=191 F(894)=286 F(1340)=425 F(2009)=634 本文标题:约瑟夫问题(计算机科学和数学中的问题) - 娱乐圈事 本文地址:http://www.o-kml.com//yule/27044.html |
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2022-11-21
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