2024-02-12
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勾股数,又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理:直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a²+b²=c²)。 中文名勾股数 gōu gǔ shù 毕氏三元数 a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 《周髀算经》 几何 数学,几何学 简介①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起九没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。 ②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 常用套路简介 勾股数所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 公式证明证明a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证:假设a^2+b^2=c^2,这里研究(a,b)=1的情况(如果不等于1则(a,b)|c,两边除以(a,b)即可) 如果a,b均奇数,则a^2+b^2=2(mod4)(奇数mod4余1),而2不是模4的二次剩余,矛盾,所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2=(c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶(否则右边等于奇数矛盾) 作代换:M=(c+b)/2,N=(c-b)/2,显然M,N为正整数 往证:(M,N)=1 如果存在质数p,使得p|M,p|N,那么p|M+N(=c),p|M-N(=b),从而p|c,p|b,从而p|a,这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理,k^2=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...,其中a1,a2...均为偶数,p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi,M的pi因子个数为奇数个,那N对应的pi因子必为奇数个(否则加起来不为偶数),从而pi|M,pi|N,(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M,pi^2|N,即M,N都是平方数。 设M=m^2,N=n^2 从而有c+b=2m^2,c-b=2n^2,解得c=m^2+n^2,b=m^2-n^2,从而a=2mn 推广形式关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数,但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3,4,5;6,8,10;9,12,15...,就不能全部有公式计算出来。 但可以采用同乘以任意整数的形式来获取所有解! 其中规定m>n>0(两负数相乘可抵消固不考虑),(m,n)=1,m和n必须为一奇一偶,t为正整数 完全公式公式a=m,b=(m^2/k-k)/2,c=(m^2/k+k)/2①其中m≥3 ⒈、当m确定为任意一个≥3的奇数时,k={1,m^2的所有小于m的因子} ⒉、当m确定为任意一个≥4的偶数时,k={m^2/2的所有小于m的偶数因子} 基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如,当m确定为偶数432时,因为k={432^2/2的所有小于432的偶数因子}={2,4,6,8,12,16,18,24,32,36,48,54,64,72,96,108,128,144,162,192,216,288,324,384},将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2/k-k)/2,c=(m^2/k+k)/2;即得直角边a=432时,具有24组不同的另一直角边b和斜边c,基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。 组数N算术基本定理:一个大于1的正整数n,如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr,那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1);依据定理,易得以下结论 当a给定时,不同勾股数组a,b,c的组数N等于①式中k的可取值个数 ⒈、取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr,其中k={1,a^2的所有小于a的因子},则k的可取值个数: N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)-1]/2 ⒉、取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr,其中k={a^2/2的所有小于a的偶数因子},则k的可取值个数: N=[(2m0-1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)-1]/2 其中,p1,p2,……,pr为互不相同的奇素数,m0,m1,……,mr为幂指数。 整勾股数JAVA编程 常见组合3,4,5:勾三股四弦五 5,12,13:5·12记一生(13) 6,8,10:连续的偶数 8,15,17:八月十五在一起(17) 特殊组合连续的勾股数只有3,4,5 连续的偶数勾股数只有6,8,10 特点观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点: 1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。 掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。 例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少? 用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。 本文标题:勾股数(数学几何学术语) - 娱乐圈事 本文地址:http://www.o-kml.com//yule/26699.html |
2023-04-16
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